直圆柔性铰链加工误差对其质量的影响

柔性铰链利用了金属微小弹性变形和回复特性， 是一种微定位的高分辨率传动机构。由于是一体化 加工成型，所以具有无机械摩擦、无配合空程、无需润 滑、运动灵敏度高等特点，广泛应用于各类微调装 置、精密定位平台、光刻技术和扫描探测显微镜 等。

对柔性铰链工作性能产生影响的因素是多方面 的，设计柔性铰链时会有一些前提假设，如假设仅在 铰链处产生弹性变形，其余部分视作刚体；在工作时 假设只产生转角变形，无伸缩和其他变形。而铰链本 身存在一些固有缺陷，比如转动中心不固定、应力集 中、应力大小随关节位置变化、环境对材料的影响 等。在结构设计中往往是几个铰链和连杆 之间相互组合，组合之间的加工误差都会带来转角和 直线的耦合位移，这些都会导致其运动偏离理想轨 迹。有文献综合性的对柔性铰链 机构误差源进行分析，对材料性能、尺寸设计、振动干 扰、加工误差等方面进行探讨。文献给出了单平 行四边形位移结构的旋转耦合公式。文献用多 变量泰勒级数把理想刚度公式展开，定性的分析每个 变量误差对柔性铰链的敏感性。文献用有限元方法对位移机构进行仿真，得到柔性铰 链制造误差引起的机构位移耦合，但是都只针对一种 机构，所得结果有局限性。

本文中我们针对直圆柔性铰链形成的梁构件，分 析直圆柔性铰链的３种加工误差，推导存在误差时的 刚度计算公式，利用数值积分和多项式拟合方法，得 到在不同铰链参数ｔ／Ｒ 下的无量纲刚度误差公式，并 用有限元方法（ＦＥＡ）进行比较和验证。为铰链的参 数设计和加工提供参考。

１　柔性铰链加工误差建模和分析

理想柔性铰链的几何结构与如图１所示，在转矩 Ｍ 作用下中间薄弱部分可产生弹性角变形，绕Ｚ 轴 旋转产生运动。主要尺寸参数有宽度ｂ，半径Ｒ，最小 厚度ｔ，高度ｈ，对于直圆柔性铰链，ｈ＝２Ｒ＋ｔ。 根据材料力学中的挠曲 线方程可得近似公式

式中，α 是转角；Ｍ 是转矩；Ｅ 是材料弹性模量；Ｉ 是铰链截面对ｚ 轴的惯性矩。取出如图２的微元进行积分，可得铰链转角公式为：

对于直圆柔性铰链，取ｍ＝ｔ／Ｒ，θ＝π／２，积分可得转动刚度Ｋ 为：

本文针对铰链几何结构的３种加工误差进行分析，即切口圆弧ｙ 方向定位误差、切口圆弧ｘ 方向定位误差和切口圆弧轴心线的垂直度误差。

１．１　切口圆弧ｙ 方向定位误差

柔性铰链的厚度ｔ是一个重要的参数，切口圆弧ｙ 方向的定位误差ｄ１如图３所示，它直接影响厚度ｔ的大小。在误差ｄ１的影响下

将式（４）代入式（５），令ｍ＝ｔ/Ｒ，ｄ１＝ｐｔ，结合式（１）、式（５）、式（６）可得关于加工误差系数ｐ 的转动刚度为

由式（２）可得理想柔性铰链刚度积分公式为

结合式（７）、式（８）得到刚度误差为

为了更具有普遍性，这里采用了无量纲参数ｐ＝ｄ１/ｔ，对ｐ＝（－０．３，０．３）范围内的误差β１进行数值积分，并进行六阶多项式拟合，得到柔性铰链关于无量纲误差系数ｐ 的刚度误差β１（ｐ）为

多项式系数Ｃｉ随ｍ 大小而改变，Ｃｉ的取值见表２。

１．２　切口圆弧ｘ 方向定位误差

理想铰链的上下切口圆弧是严格对称的，采用钻孔或者电火花切割加工时，切口圆弧中心ｘ 方向定位误差ｄ２如图４所示，由图可知

把式（６）、式（１１）、式（１２）带入式（１），令ｍ＝ｔ/Ｒ，ｄ２＝ｐｔ，得到关于加工误差系数ｐ 的转动刚度Ｋ２，结

合式（８）可求得刚度误差β２。对ｐ＝（０，０．３）范围内的误差β２进行数值积分和多项式拟合，得到铰链不同ｍ 参数下误差系数ｐ 造成的刚度误差为

 

β２＝Ｃ１ｐ１＋Ｃ２ｐ２＋Ｃ３ｐ３＋Ｃ４ｐ４＋Ｃ５ｐ５＋Ｃ６ｐ６ （１３）

１．３　切口圆弧轴心垂直度误差

在加工柔性铰链时，切口圆弧轴心线的偏离情况较为复杂，主要有两种情况，一种是两圆弧的轴心线互相平行，具有共同的垂直度误差φ，在具体的微位移机构中，这会导致不对称的应力状态，可能引入机构位移耦合误差。第二种是两圆弧轴心线不平行，从而导致铰链截面发生变化。我们考虑第二种情况，当轴心线左右偏离时所得截面和上文１．２节所述类似，而当其中一条轴心线前后偏离时的误差ｄ３如图５所示，取出图５中间铰链截面，如图６所示。
ａ３＝ｔ＋２Ｒ－２Ｒｃｏｓθ （１４）
截面对Ｚ 的转矩为

令ｍ＝ｔ/Ｒ，ｄ３＝ｐｔ，将式（１４）、式（１５）、式（６）代入式（１）可得转动刚度

其中，Ｚ ＝ｍ＋２－２ｃｏｓθ。结合式（８）得到刚度误差

对ｐ＝（－０．３，０．３）范围内的误差β３进行数值积分和曲线拟合，得到不同ｍ 参数值下，轴心线垂直度误差系数ｐ 引起的刚度误差β３（ｐ）为

２　有限元软件误差分析

ＡＮＳＹＳ软件作为一个功能强大、灵活的设计分析及优化软件包，可对多种物理场进行分析计算，应用ＡＮＳＹＳ的静力分析功能，可以分析结构在固定载荷作用下的响应，求解载荷引起的变形和应力。其静力分析控制方程为

｛Ｋ｝｛Ｕ｝＝｛Ｆ｝ （１８）

式中，｛Ｋ｝表示结构刚度矩阵；｛Ｕ｝表示位移向量；｛Ｆ｝表示力向量。

建立如图７所示悬臂梁结构模型，对模型进行单元划分如图８所示。利用ＡＮＳＹＳ的ｗｏｒｋｂｅｎｃｈ模块，可以对模型的尺寸进行参数化设计，得到各个参数组成的设计点，修改误差参数的大小，可以方便的得各个不同设计点。对这些设计点进行仿真计算，从而得到刚度误差。

有限元模型的边界条件对仿真结果有明显的影响，比如，在一个节点上施加集中力载荷，就会在相应处产生局部应力突变，从而降低仿真的准确性，此外，根据文献所述，铰链的形变效应不仅仅局限在铰链区域，还会对铰链以外的区域产生影响（图７的Ａ区域），Ａ 区域会和铰链区相互作用，产生一些特殊形变，但这些形变对结果会有何种影响，还有待研究。因此，考虑到以上因素，对构件左端一定距离处采取固定约束，在另一端较远处施加Ｍ ＝０．０１Ｎ·ｍ 的力矩，求解后得到中间Ｐ１点竖直方向即ｙ 方向的位移值，根据ΔｙＭ ＝Ｒｓｉｎ（θｍａｘ）（αＭ）［１］２０３－２２０进而得到转动刚度。表１是建模时的参数。

３　数值分析和有限元分析结果的比较

对于上文分析的３种刚度误差，即切口圆弧方向定位误差、切口圆弧方向定位误差和切口圆弧轴心线垂直度误差引起的刚度误差β１、β２和β３，分别比较数值计算结果和有限元分析结果，用Ｍａｔｌａｂ绘制图形，得到不同铰链参数值ｍ 下的误差曲线如图９～图１１所示，其中ＮＡ为数值分析结果，ＦＥＡ为有限元分析结果。

结合计算结果和图９可知，ＮＡ 和ＦＥＡ 的误差曲线较为吻合，铰链参数ｍ 对误差β１几乎没有影响，但是误差系数ｄ１／ｔ对刚度的影响较大，取ｍ＝０．１，当误差系数ｄ１／ｔ为０．３时，ＮＡ和ＦＥＡ的刚度误差分别可达９３．４４％和８２．５％。

由图１０可知，误差系数ｄ２／ｔ一定时，误差β２随ｍ 增大而变大，取ｄ２／ｔ为０．６，当ｍ＝０．１时，ＮＡ 的误差是２．５３％，ＦＥＡ的误差是４．５９％；而当ｍ＝０．８时，ＮＡ的误差是３４．９４％；ＦＥＡ的误差是２９．６１％。

铰链参数ｍ 对刚度误差β３也不敏感，但误差参数ｄ３／ｔ的影响较大，如图１１所示，取ｍ＝０．１，当ｄ３／ｔ＝０．３时，ＮＡ 的误差是５９．１１％，ＦＥＡ 的误差是４１．４４％；当ｄ３／ｔ＝ －０．３ 时，ＮＡ 的误差是－２１．５３％，ＦＥＡ的误差是－２７．６３％。同时注意到，在数值计算时，假设图６所示铰链截面两端的转角是一致的，而实际上当施加一定载荷时，截面两端的转角并不一致而具有一定的扭转，这也造成了ＮＡ 和ＦＥＡ计算结果的偏差。

４　结论

直圆柔性铰链的加工误差对刚度性能有直接影响，本文中我们针对３种切口圆弧的加工误差，推导存在误差时的转动刚度，并拟合出无量纲的刚度误差公式。从公式计算结果和有限元分析的结果来看，两者的误差曲线有较好的一致性，验证了所得公式的正确性。为了减小切口圆弧ｘ 方向定位误差的影响，ｍ的取值即ｔ／Ｒ 的取值可适当减小，而切口圆弧ｙ 方向的定位误差和轴心线的垂直度误差，应该要严格控制。此外，由式（７）、式（１２）、式（１５）可知铰链宽度ｂ跟绝对误差是成正比的，但是与相对误差无关。

 

 

 

 

 

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